(***)image Olympiades 2019 - Somme de carrés

Un nombre entier \(n\)  étant donné, on cherche dans cette partie à estimer

\(S(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + (n-1)^2 +n^2\) .

Sur la photo, on a représenté une pyramide de boulets de pierre, à base carrée, avec \(6\) étages qui contiennent  \(6^2, 5^2, \dots,1\) boulets. Le nombre de boulets qui la composent est \(S(6) = 91\) .

1. Dans le cas \(n = 5\) , le puzzle présenté ci-dessous permet d’estimer \(S(5)\) . Comment ? Quelle valeur obtient-on par cette méthode ?

2. Les exemples précédents inspirent la formule \(S(n) = \dfrac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)\) .
    a. Montrer que l’entier \(n(n + 1)(2n + 1)\)  est bien un multiple de \(2\)  et de  \(3\) .
    b. Si on suppose que, pour un certain \(n\) , sur lequel on ne fait aucune autre hypothèse, \(S(n) = \dfrac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)\) , quelle formule obtient-on pour \(S(n) + (n + 1)^2\) ? On peut donc décider que la formule de  \(S(n)\) est vraie pour tout entier \(n\) .

3. Montrer que \(S(24)\) , somme des \(24\) premiers carrés, est un carré.